PhDr. Mgr. Jeroným Klimeš, Ph.D. 2025-08-08
Řešit schémata z elektrotechniky je dobré cvičení mozku, takové složitější sudoku. Snažím se dávat přednost elektronice, protože přeci jenom je to užitečnější kratochvíle pro život i chod domácnosti než Sudoku.
S následujícím schématem jsem se trochu natrápil, třebaže to byla testová otázka v soutěži pro děti do 15 let. Našel jsem je v časopisu Praktická elektronika[1].
Jaký odpor má následující odporový čtverec, čili jaký proud poteče ampérmetrem, když sepneme spínač?
Čas na řešení, aneb malý překladový slovník
Tak dumejte, počítejte a než přistoupíme k řešení, zavedeme si malý překladový slovníček. My psychologové máme takovou zálibu v příměrech, které předkládáme klientům v inteligenčních testech:
Kůň se má k žokejovi, jako auto k:
A) pneumatikám
B) benzínu
C) řidiči
D) policistovi
Samozřejmě C je správně.
Tak i zde si dáme test:
Cyklista se má k hoře, jako elektron k
A) baterii
B) cívce
C) odporu
D) Evropské Uhnii
Samozřejmě C je správně: k odporu. Odpory jsou jako kopce - čím víc kopců, resp. odporů, tím méně po nich jezdí cyklistů, resp. elektronů. Samozřejmě po Českých Budějovicích jezdí více cyklistů než po Gerlachovském štítu.
Čím více dálnic, tím více aut. Stejně tak čím víc smyček, tím víc elektronů, tím větší proud.
Toto si můžeme přepsat do překladové tabulky:
|
Cyklistika |
Elektrika |
|
cyklista |
elektron |
|
peloton |
náboj (skupina elektronů) |
|
cestička |
drát, vodič |
|
trasa |
smyčka |
|
kopec |
odpor, rezistance (R, jednotka Ohm, značka omega Ω(*)) |
|
cyklistická atraktivita oblasti |
vodivost, konduktance (G, jednotka Siemens) |
(*) Řecké písmeno Omega je poslední písmeno řecké „abecedy“, přesněji řečeno alfabety. To samo o sobě nemá s německým fyzikem Georgem (Řehořem) Ohmem (1789 – 1854), ani s odpory nic společného. Je to jen zkrácený zápis slova Ohm. Řečtina má ale dvě O - jedno velké a druhé malé, nebo bych mohli říci hyperlativy[3]: Jedno mega-velké a druhé mikro-malé. Proto jednomu se říká o-mega neboli velké O, a druhému se říká o-mikron, čili O pidimalé, a to právě je k nerozeznání podobné našemu o, protože naše malé O je omikron.
K tomu pár jednoduchých vzorců. Elektrický proud je počet nábojů za sekundu, tedy proud jeden ampér odpovídá proudu či pelotonu mnoha elektronů. Raději se neptejte kolika elektronů: Bez tří 6241509074460760003 (6,24e18, a není to Avogadrova konstanta). To je pravda velké číslo, přesto je stále o 3 000 020 000 001 menší, než je počet blbců, co kdy žilo na této planetě.
Ale vtip stranou, když drátem teče tolik elektronů, tak jsou rádi, když se nemusí tolik mačkat a mohou jít vícero trasami, smyčkami. Rozdělí se v poměru odporů či spíše vodivosti jednotlivých smyček - čím menší odpor, tím větší je vodivost, tím i víc elektronů po ní běží. Odpor a vodivost jsou nepřímo úměrné, takže je i na běžné kalkulačce spočítáme vzorce: R=1/G nebo naopak G=1/R.
Nyní můžeme přistoupit k řešení.
Řešení
Zprvu jsem se snažil tento odporový čtverec řešit přes smyčky. To je jistě správně, ale člověk musí vědět, jak se to dělá. To si řeknete větu: „Takový elektron je jako cyklista. Kady všady by mohl tak šlapat?
Tak třeba po těchto smyčkách, okružních cestách a teď si je jako správní velocipédoraptoři objedete prstem nebo tužkou na zadání výše:
Zdroj → Vypínač → R1 → Zdroj
Zdroj → Vypínač → R2 → Zdroj
Zdroj → Vypínač → R3 → Zdroj
Zdroj → Vypínač → R4 → Zdroj Tady jezdí elektrony jaksi do X, ale to je vůbec nerozhodí, protože se jedná o mimoúrovňovou křižovatku, kde se dráty vzájemně nedotýkají:
Jenže pak jsem si řekl - podotýkám že špatně - že by elektron taky mohl jet dokolečka přes hory a doly, tzv. orvávačku:
Zdroj → Vypínač → R2 → R4 → R3 → Zdroj
To byla chyba, protože napřed jsem měl ztotožnit uzly. Uzel 12 je pro elektron zjevně totéž co Uzel 34. Tato pátá smyčka je nesmyslná, protože jde přes uzly, kde trasa elektronu začínala či kde by měla končit. Takže na pátou smyčku zapomene a spočítáme vodivost prvního odporu.
Vodivost G1=1/R1=1/1000 S= 1 mS (jeden milisiemens).
Ostatní smyčky to mají zcela stejné, takže celková vodivost jsou 4 mS.
Celkový odpor R=1/G=1/4e-3=0,25e3=250 Ω. To je odpověď na polovinu zadání.
Animace sjednocení smyček
Základem elektrikářské práce je překreslování schémat na jednodušší a názornější. Sjednocování uzlů je dobré pojmout jako video.
Představíme si, že máme gumové dráty, které můžeme libovolně natahovat, zkracovat. Potom co jde, stáhneme do jednoho drátu či ještě lépe do jednoho bodu, uzlu. Hlavně se chceme zbavit té matoucí křižovatky uprostřed čtverce.
→
→
→
→
→
Tyto obrázky jsem poslal potrubní poštou Bratrům v jednom tričku a ti nám obratem uvádějí toto video, na které se nebojte kliknout:
Opravdu ten čtverec jsou jen čtyři paralelní odpory, či obráceně nahlédnuto - čtyři paralelní vodivosti (Gn=1/Rn). Ty když sečteme, dostaneme celkovou vodivost Gc=ΣGn. Když uděláme z celkové vodivosti převrácenou hodnotu, tak dostaneme celkový odpor Rc=1/Gc.
To se dá napsat jako tři postupné vzorce za sebou, nebo jako jeden ne moc elegantní vzorec.
Je třeba si zapamatovat obecný návod na paralelní odpory: Odpory převedeme je na vodivosti, na géčka. Ty sečteme a celkovou vodivost převedeme zpět na celkový odpor.
Symbol R je od slova rezistence, odpor. Vodivost, konduktivita má symbol G, protože proto. Žádnou logiku v tom nehledejte. Slov na C nebo K je moc, takže se používá G.
Zápis výpočtu v Calcu (Excelu)
Každopádně poučení a inspirace z krizového vývoje: Každý nehezký vzorec je možno rozložit na řadu postupných vzorců a pomocných výpočtů, které si napíšeme do Calcu či Excelu postupně pod sebe.
|
Značka |
Hodnota |
Jednotka |
Poznámka |
Vzorec |
|
R1= |
1000 |
Ω Ohm |
odpory |
|
|
R2= |
1000 |
Ω |
||
|
R3= |
1000 |
Ω |
||
|
R4= |
1000 |
Ω |
||
|
G1= |
0,001 |
Siemens |
vodivosti (konduktance) |
=IF(C66>0;1/C66;0) |
|
G2= |
0,001 |
S |
=IF(C67>0;1/C67;0) |
|
|
G3= |
0,001 |
S |
=IF(C68>0;1/C68;0) |
|
|
G4= |
0,001 |
S |
=IF(C69>0;1/C69;0) |
|
|
Gcelkem= |
0,004 |
S |
=SUM(C70:C73) |
|
|
Rcelkem= |
250 |
Ω |
odpor celkový |
=1/C74 |
|
V= |
100 |
V DC |
napětí |
|
|
I= |
0,4 |
A |
proud podle Ohmova zákona |
=C76/C75 |
Žluté řádky jsou zadání, jejichž hodnoty můžeme zkusmo měnit. Zelené jsou výstupy a výsledky.
Zásada „jeden výpočet na jednu řádku“ umožňuje i nám ADHD dysgrafikům, dysortografikům, dyslektikům, dyskalkulikům, dysmorfofobikům, ale i jiným nedysným občanům této země názorně vidět, jak nám pod rukama vzniká výpočet a kde případně máme chybu.
Vždy píšeme sloupce Značka, Hodnota a Jednotka. Hlavně na tu jednotku pozor. Co nejdřív ji převádíme na základní jednotky, tedy X mA převedeme na dalším řádku X/1000 A, protože místo m vždy můžeme napsat 1/1000 a napak. Práce se základními jednotkami je záruka bezchybnosti.
Sloupec Vzorec je jen na vysvětlení pro vás čtenáře tohoto článku. Předpojatí matematici nemají rádi dělení nulou, ani do Calcu se nedá zadat hodnota nekonečno, proto pokud použijeme ve výpočtu méně odporů, hodí se nám mít vzorec s IF.
Odpověď celou větou
Jaký celkový odpor má odporový čtverec, čili jaký proud poteče ampérmetrem, když sepneme spínač?
Odporový čtverec má celkový odpor 250 Ω. Při napětí 100 V DC jím tedy poteče proud 400 mA, tzn. nějakých 2,5.1018 elektronů za sekundu.
Proč by někdo místo jednoho odporu 250 Ω používal čtyři vetší po 1000 Ω?
Když vidíte čtyři malé odpory zapojené paralelně nebo sériově jako na obrázku vlevo, vězte, že jde nejčastěji o chlazení. Paradoxně když na desce vidíte jeden tlustý odpor, můžete tušit, že bude mít malou hodnotu, že jím poteče po čertech velký proud a že se jmenuje Milan. Velký je proto, aby dobře Milan chladil. Jenže čtyři malé odpory chladí ještě lépe, protože mají větší plochu. Naopak velmi velké odpory 10 MΩ, bývají paradoxně někdy pidimalé jak již zmíněné omikron.
Zapojení vlevo jsou čtyři odpory o 12 kΩ v serii s LED diodou zapojeny na 240V. Ohmův zákon prozradí 240/4/12000 = 5 mA. Na malou ledku tak akorád proud. Pravda toto by snad ani Milan nechladil. Takže osobně nevím, co tím autor zamýšlel.
Když by na každé straně čtverce byl jiný odpor a my bychom připojili svorky od baterky na druhém konci čtverce, jak by se měnily hodnoty, kdybychom jej měřili z různých stran?
Pokud je to pro vás těžká otázka, tak si přečtete ještě jednou tento článek. Nebo ještě lépe sletujte si čtyři reálné odpory a dumejte. Nebo si otevřete simulator a zkuste to online.
Literatura
1. Ing. Tóth Štefan, Ing. Kohút Matej: Umelá inteligencia (GPT) riešila test z elektroniky na súťaži TSME. Praktická elektronika 2/2024
2. Animaci vytvořily programy GIMP, Imagemagic, ffmpeg. Vzorce jsou z Math v Libreoffice. Elektrická schémata a simulace https://www.falstad.com/circuit/
3. https://necyklopedie.org/wiki/Hyperlativ
